Question

在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E。
（1）当直线MN绕点C旋转到图（1）的位置时，求证：
①△ACD≌△CEB：②DE=AD+BE；
（2）当直线MN绕点C旋转到图⑵的位置时，求证：DE=AD-BE；
（3）当直线MN绕点C旋转到图⑶的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明。

Answer 1

证明：（1）①∵∠ADC=∠ACB=90°，
∴∠1+∠2=∠3+∠2=90°，
∴∠1=∠3
又∵AC=BC，∠ADC=∠CEB=90°，
∴△ADC≌△CEB；
②∵△ADC≌△CEB，
∴CE=AD，CD=BE，
∴DE=CE+CD=AD+BE
（2）∵∠ACB=∠CEB=90°，
∴∠1+∠2=∠CBE+∠2=90°，
∴∠1=∠CBE
又∵AC=BC，∠ADC=∠CEB=90°，
∴△ACD≌△CBE，
∴CE=AD，CD=BE，
∴DE=CE-CD=AD-BE；
（3）当MN旋转到图3的位置时，AD、DE、BE所满足的等量关系是DE=BE-AD（或AD=BE-DE，BE=AD+DE等）
∵∠ACB=∠CEB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=∠CBE+∠BCE=90°，
∴∠ACD=∠CBE，
又∵AC=BC，∠ADC=∠CEB=90°，
∴△ACD≌△CBE，
∴AD=CE，CD=BE，
∴DE=CD-CE=BE-AD。