Question

如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=3，BC=4，点E在AC上，E与A、C均不重合.

（1）若点F在AB上，且EF平分Rt△ABC的周长，设AE=，△AEF的面积为，求与的函数关系式；

（2）若点F在折线ABC上移动，是否存在直线EF将Rt△ABC的周长与面积同时平分？若存在，求出AE的长；若不存在，请说出理由。

Answer 1

解：（1）在Rt△ABC中，AB=

∴L_△ABC=AB+AC+BC=5+3+4=12

    ∵EF平分Rt△ABC的周长，∴AE+AF= 6

    ∴AF=6－AE=6－

    在Rt△ABC中，

  作FG⊥AC，则FG =

∴S_△AEF=

    即△AEF的面积与的函数关系式为

（2）①若F在AB上，假设EF将Rt△ABC的周长与面积同时平分，

则有：

解得：，

∵＞3(应舍去)，∴

②若F在BC上，∵，∴CF=6－（3－）=3+

同理可得：

解得：，（舍去），∵CF=3+=，

∴不合题意

∴存在直线EF将Rt△ABC的周长与面积同时平分，