Question

如图，在△ABC中，以AC为直径的⊙O交BC于D，过C作⊙O的切线，交AB的延长线于P，∠PCB=

1

2

∠BAC．
（1）求证：AB=AC；
（2）若sin∠BAC=

3

5

，求tan∠PCB的值．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：

分析：（1）连接AD，由切线的性质及圆周角定理可证明∠CAD=∠BAD，可证明∠ABC=∠ACB，可证明AB=AC；
（2）过B作BE⊥AC于点E，可得∠PCB=∠CBE，在Rt△ABE和△BCE中可求得tan∠PCB．

解答：（1）证明：如图1，连接AD，

∵AC为直径，PC为⊙O的切线，
∴∠PCA=∠CDA=90°，
∴∠PCB+∠DCA=∠DCA+∠DAC，
∴∠PCB=∠DAC，
又∵∠PCB=

1

2

∠BAC，
∴∠BAD=∠PCB，
∴∠DAC=∠DAB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC；
（2）解：如图2，过B作BE⊥AC于点E，

∵sin∠BAC=

3

5

，
∴可设BE=3x，则AB=5x，
在Rt△ABE中，由勾股定理可求得AE=4x，
又∵AC=AB=5x，
∴CE=AC-AE=5x-4x=x，
∴tan∠CBE=

CE

BE

=

1

3

，
又∵PC⊥AC，
∴BE∥PC，
∴∠CBE=∠PCB，
∴tan∠PCB=

1

3

．

点评：本题主要考查切线的性质及等腰三角形的判定和三角函数的定义，掌握过切点的半径与切线垂直是解题的关键，在（2）中注意三角函数的定义．