题目内容
已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，过点A作直线MN⊥AC，点P是直线MN上的一个动点(与点A不重合)，连结CP交AB于点D，设AP=
，AD=
．
1.如图1，若点P在射线AM上，求y与x的函数解析式；
2.射线AM上是否存在一点P，使以点D、A、P组成的三角形与△ABC相似，若存在，求AP的长，若不存在，说明理由；
3.如图2，过点B作BE⊥MN，垂足为E，以C为圆心、AC为半径的⊙C与以P为圆心PD为半径的动⊙P相切，求⊙P的半径
【答案】
1.
2.当AP的长为4.5时，△ABC∽△PAD
3.⊙E的半径为16或
.
【解析】（1）∵AM⊥AC，∠ACB=90°∴AM∥BC
∴
∵AC=6，BC=8，
∴AB=10 ∵AP=
，AD=
∴
∴
（2）假设射线AM上存在一点P，使以点D、A、P组成的三角形与△ABC相似
∵AM∥BC ∴∠B=∠BAE
∵∠ACB=90° ∠APD≠90°
∴△ABC∽△PAD
∴
∴
解得：
4.5
∴当AP的长为4.5时，△ABC∽△PAD
（3）∵⊙C与⊙P相切，AP=
①当点P在线段AD上，⊙C与⊙P外切时，PE=
， PC=
在直角三角形PAC中，
∴
解得：
∴⊙P的半径为.
②点P在射线MA上，当⊙C与⊙P内切时，PE=
， EC=
在直角三角形PAC中，
∴
解得：
（舍去）∴⊙P的半径为16.
③点P在射线AD上，当⊙C与⊙P外切时，PE=
， PC=
在直角三角形PAC中，
∴
解得：
(舍去)
当⊙C与⊙P内切时，PE=， PC=
在直角三角形PAC中，
∴
解得：(舍去)
∴当⊙C与⊙P相切时，⊙E的半径为16或.
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