题目内容
【题目】若
，
是一元二次方程
的两根，则有
，
，由上式可知，一元二次方程的两根和、两根积是由方程的系数确定的，我们把这个关系称为一元二次方程根与系数的关系．若
，
是方程
的两根，记
，
，…，
，
________；
________；
________；
________；（直接写出结果）
当
为不小于
的整数时，由
猜想
，
，
有何关系？
利用中猜想求
的值．
【答案】（1）1，3，4，7；（2）
；（3）29
【解析】
对于（1）根据根与系数的关系，写出α＋β，αβ的值，然后运用完全平方公式和立方和公式进行计算，求出S1，S,2，S3，S4的值.
对于（2）利用（1）中S2＝3,S3＝4,S4＝7,猜想Sn＝Sn－1＋Sn－2,然后由α，β是方程的根，得到α2＝α＋1，,β2＝β＋1进行证明.
对于（3）根据（2）中的猜想得到上式为S7＝S6＋S5进行计算，求出式子的值.
由
得：．
证明：∵
，
是方程的根，∴有：
，
，
．
故．
由
有：
．
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