Question

如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦于点E，交⊙O于点F，且CE=CB．

（1）求证：BC是⊙O的切线；

（2）连接AF、BF，求∠ABF的度数；

（3）如果CD=15，BE=10，sinA=，求⊙O的半径．

Answer 1

（1）证明：连接OB

∵OB=OA，CE=CB，

∴∠A=∠OBA，∠CEB=∠ABC

又∵CD⊥OA

∴∠A+∠AED=∠A+∠CEB=90°

∴∠OBA+∠ABC=90°

∴OB⊥BC

∴BC是⊙O的切线．

（2）解：如图1，连接OF，AF，BF，

∵DA=DO，CD⊥OA，

∴AF=OF，

∵OA=OF，

∴△OAF是等边三角形，

∴∠AOF=60°

∴∠ABF=∠AOF=30°；

（3）解：如图2，过点C作CG⊥BE于G，

∵CE=CB，

∴EG=BE=5，

∵∠ADE=∠CGE=90°，∠AED=∠GEC，

∴∠GCE=∠A，

∴△ADE∽△CGE，

∴sin∠ECG=sin∠A=，

在R_tECG中，

∵CG==12，

∵CD=15，CE=13，

∴DE=2，

∵△ADE∽△CGE，

∴，

∴AD=，CG=，

∴⊙O的半径OA=2AD=．