Question

【题目】在正方形ABCD中，AB＝6，对角线AC和BD相交于点O，E是AB所在直线上一点（不与点B重合），将线段OE绕点E顺时针旋转90°得到EF．

（1）如图1，当点E和点A重合时，连接BF，直接写出BF的长为　 　；

（2）如图2，点E在线段AB上，且AE＝1，连接BF，求BF的长；

（3）若DG：AG＝2：1，连接CF，H是CF的中点，是否存在点E使△GEH是以EG为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出EB的长；若不存在，试说明理由．

Answer 1

【答案】（1）3；（2）2；（3）存在，5或或

【解析】

（1）先根据旋转的性质和正方形的性质得，再证明，得；

（2）如图2，作辅助线，构建全等三角形，证明，得，，计算的长，最后利用勾股定理可得结论；

（3）先根据，且，计算，，分三种情况：①当时，在的左侧时，如图3，作辅助线，构建全等三角形和直角三角形，设，在中，根据，列方程可得的值，从而得的长；②当时，如图4，同理作辅助线，设，则，证明，列比例式可得结论，其中，就是③，如图5所示，不符合题意．

解：（1）如图1，由旋转得：，，

四边形是正方形，且边长为6，

，，

，

，

，

，

故答案为：；

（2）如图2，过作于，过作于，

四边形是正方形，

，

，

和是等腰直角三角形，

，

，

，

，

，，

，

，，

，

，，

，

中，由勾股定理得：；

（3）存在是以为直角边的直角三角形；

，且，

，，

分三种情况：

①当时，在的左侧时，如图3，过作，交的延长线于，过作于，交于，过作于，过作于，过作于，

设，

同理得，

，，

是的中点，，

，

，

，

中，，

，

，

，，

当时，（如图6所示），

当时，；

②当时，如图4，过作，交的延长线于，过作于，交于，过作于，过作于，

设，则，

同理得：，，，，

，，

，，

，

，

，

，即，

，

解得：（舍或5，

即；

③如图5，当与重合时，，此种情况不符合题意；

综上，的长是5或或．