Question

如图，在正方形ABCD中，E是CD边的中点，点F在BC上，∠EAF=∠DAE，则下列结论中正确的是（　　）

• A、∠EAF=∠FAB
• B、BC=3FC
• C、AF=AE+FC
• D、AF=BC+FC

Answer 1

分析：把△ADE绕A点逆时针旋转90°得△ABG，根据旋转的性质得∠1=∠5，∠3=∠G，∠ADB=∠ABG，DE=BG，则∠GBF=180°，即G，B，F共线，再根据∠3=∠2+∠4，∠1=∠2，可得到∠G=∠5+∠4，则AF=GF；然后设正方形ABCD的边长为2a，BF=x，则AF=x+a，在Rt△ABF中，利用勾股定理得到x=

3

2

a，则FC=

1

2

a，AF=

5

2

a，BC+FC=2a+

1

2

a=

5

2

a=AF，得到正确选项．

解答：解：把△ADE绕A点逆时针旋转90°得△ABG，如图，
∴∠1=∠5，∠3=∠G，∠ADE=∠ABG，DE=BG，
∴∠GBF=180°，即G，B，F共线，
又∵∠3=∠2+∠4，∠1=∠2，
∴∠3=∠5+∠4，
∴∠G=∠5+∠4，
∴AF=GF；
设正方形ABCD的边长为2a，则DE=a，
设BF=x，则AF=x+a，在Rt△ABF中，（x+a）²=4a²+x²，
解得x=

3

2

a，
则FC=

1

2

a，AF=

5

2

a，
∴BC+FC=2a+

1

2

a=

5

2

a=AF．
所以D选项正确．
故选D．

点评：本题考查了旋转的性质，旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，正方形的性质以及勾股定理．