题目内容
【题目】在平面直角坐标系中，二次函数
的图象与
轴交于
、
两点，与
轴交于点
，直线
经过点，与抛物线交于另一点
.已知
，
.
（1）求抛物线与直线的解析式；
（2）如图1，若点
是轴下方抛物线上一点，过点作
于点
，过点作
轴交抛物线于点
，过点作
轴于点
，
为直线
上一点，且
.点
为第四象限内一点，且在直线
上方，连接
、
、
.记
，
.当
取得最大值时，求出点的坐标，并求出此时
的最小值.
（3）如图2，将点沿直线
方向平移13个长度单位到点
，过点作
轴，交抛物线于点
.动点
为轴上一点，连接
、
，再将
沿直线翻折为
（点、、、
在同一平面内），连接
、
、
，当
为等腰三角形时，请直接写出点的坐标.
【答案】（1）抛物线：
直线：
（2）
（3）
【解析】
（1）求出点A,B,C的坐标，根据待定系数法即可求出抛物线与直线的解析式；
（2）设点
，对称轴为：
，根据相似三角形的判定方法得到
与
相似，根据相似三角形的性质得到
，根据二次函数的性质即可求出
取得最大值时，求出点
的坐标，并求出此时
的最小值.
（3）分三种情况进行讨论即可.
（1）令
.
又
把点A、B分别代入
中，得
解得：
把点A代入直线
中，得
，
抛物线的解析式为：
，
直线的解析式为：
（2）设点
，对称轴为：，由题意，当点在对称轴左侧时的
值一定小于点在对称轴右侧时的值，所以
.
令
作
轴交直线
与点
,则与相似。
所以
当
时，
.此时，点
.
此时点
，
.
把
绕点逆时针旋转60度，得
.
此时
当点
、
、
、
共线时，取最小值
.
作
，则
,
，
，
的最小值为
（3）
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