Question

在矩形ABCD中，E为BC的中点，点F在BC的延长线上，CM平分∠DCF，连接AE，作EM⊥AE交CM于点M．
（1）如图1，当AB=BC时，请判断AE与EM的数量关系并证明；
（2）如图2，当AB=nBC时，请判断AE与EM的数量关系并证明；
（3）如图3，当AB=n•BC，BE=m•EC时，请判断AE与EM的数量关系并证明．

Answer 1

【答案】分析：（1）取AB的中点G，连接EG，利用ASA证明△AEG≌EMC；
（2）在AB上截取BG=BE，连接GE，然后证明∠EAG=∠MEC，∠AGE=∠ECM=135°，再利用两角对应相等的两三角形相似证明△AEG∽△EMC，然后根据相似三角形对应边成比例即可得出AE与EM的数量关系；
（3）在AB上截取BG=BE，连接GE，然后证明∠EAG=∠MEC，∠AGE=∠ECM=135°，再利用两角对应相等的两三角形相似证明△AEG∽△EMC，然后根据相似三角形对应边成比例即可得出AE与EM的数量关系．
解答：解：（1）AE=EM，理由如下：
如图1，取AB的中点G，连接GE．
∵∠AEM=90°，
∴∠MEC+∠AEB=90°，
又∵∠B=90°，
∴∠EAG+∠AEB=90°，
∴∠EAG=∠MEC．
∵点E，G分别为正方形ABCD的边BC和AB的中点，
∴AG=EC．
又可知△BGE是等腰直角三角形，
∴∠AGE=135°．
又∵CM平分∠DCF，
∴∠ECM=135°．
在△AEG与△EMC中，
，
∴△AEG≌△EMC（ASA），
∴AE=EM；

（2）当AB=nBC时，AE=（2n-1）EM，理由如下：
如图2，在AB上截取BG=BE，连接GE，则△BGE为等腰直角三角形，
∴∠BGE=45°，
∴∠AGE=∠ECM=135°．
∵∠AEM=90°，
∴∠MEC+∠AEB=90°，
又∵∠B=90°，
∴∠EAG+∠AEB=90°，
∴∠EAG=∠MEC．
在△AEG与△EMC中，
，
∴△AEG∽△EMC，
∴AE：EM=AG：EC，
∵AB=nBC，BC=2BE=2EC，BG=BE，
∴AG+BG=2nEC，
∴AG=（2n-1）EC，
∴AE：EM=AG：EC=（2n-1），
∴AE=（2n-1）EM；

（3）当AB=n•BC，BE=m•EC时，AE=（mn+n-m）EM，理由如下：
如图3，在AB上截取BG=BE，连接GE，则△BGE为等腰直角三角形，
∴∠BGE=45°，
∴∠AGE=∠ECM=135°．
∵∠AEM=90°，
∴∠MEC+∠AEB=90°，
又∵∠B=90°，
∴∠EAG+∠AEB=90°，
∴∠EAG=∠MEC．
在△AEG与△EMC中，
，
∴△AEG∽△EMC，
∴AE：EM=AG：EC，
∵BE=m•EC，
∴BC=BE+EC=（m+1）EC，
∵AB=n•BC，BG=BE，
∴AG+BG=n（m+1）EC，
∴AG+mEC=n（m+1）EC，
∴AG=（mn+n-m）EC，
∴AE：EM=AG：EC=（mn+n-m），
∴AE=（mn+n-m）EM．
点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，理清解题的关键是在AB上截取BG=BE，然后构造出△AEG与△EMC全等或相似是解题的关键．