Question

如图，AB是半圆O的直径，过点O作弦AD的垂线交半圆O于点E，交AC于点C，使∠C=∠BED．
（1）判断直线AC与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若OC=2，AC=OA，求AD的长．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据∠AOC+∠2=90°，∠C=∠BED=∠2，得出∠AOC+∠C=90°利用切线的判定定理，即可得出AC与⊙O相切；
（2）利用圆周角定理得出∠ADB=90°，利用OC=2，AC=OA，得出AO，AC，AB的长，进而得出AD=ABcos30°得出答案即可．
解答：（1）AC与⊙O相切．
证明：∵OC⊥AD，
∴∠AOC+∠2=90°．
又∵∠C=∠BED=∠2，
∴∠AOC+∠C=90°．
∴AB⊥AC，
因此AC与⊙O相切．

（2）解：连接BD．
∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB=90°
在Rt△AOC中，∠CAO=90°，
∵CO=2，AC=，
∴OA=1，AC=，AB=2，∠2=∠C=30°，
在Rt△ABD中
AD=ABcos30°=2×=．
点评：此题主要考查了切线的判定定理以及圆周角定理等知识，根据已知得出正确辅助线构造直径所对圆周角是解题关键．