题目内容
如图,AB是半圆O的直径,AC是弦,点P从点B开始沿BA边向点A以1cm/s的速度移动,若AB长为10cm,点O到AC的距离为4cm.(1)求弦AC的长;
(2)问经过几秒后,△APC是等腰三角形.
分析:(1)过O作OD⊥AC于D,易知AO=5,OD=4,从而AD=3,AC=6;
(2)有三种情况需要考虑:AC=PC,AP=AC,AP=CP,分别求出三种情况下,PB的值,即经过的时间.
(2)有三种情况需要考虑:AC=PC,AP=AC,AP=CP,分别求出三种情况下,PB的值,即经过的时间.
解答:解:(1)过O作OD⊥AC于D,易知AO=5,OD=4,
从而AD=
=3,
∴AC=2AD=6;
(2)设经过t秒△APC是等腰三角形,则AP=10-t,
①若AC=PC,过点C作CH⊥AB于H,
∵∠A=∠A,∠AHC=∠ODA=90°,
∴△AHC∽△ADO,
∴AC:AH=OA:AD,即AC:
=5:3,
∴经过
s后△APC是等腰三角形;
②若AP=AC,由PB=x,AB=10,得到AP=10-x,
又∵AC=6,
则10-t=6,解得t=4s,
∴经过4s后△APC是等腰三角形;
③若AP=CP,P与O重合,
则AP=BP=5,
∴经过5s后△APC是等腰三角形.
从而AD=
OA2-OD2 |
∴AC=2AD=6;
(2)设经过t秒△APC是等腰三角形,则AP=10-t,
①若AC=PC,过点C作CH⊥AB于H,
∵∠A=∠A,∠AHC=∠ODA=90°,
∴△AHC∽△ADO,
∴AC:AH=OA:AD,即AC:
10-t |
2 |
∴经过
14 |
5 |
②若AP=AC,由PB=x,AB=10,得到AP=10-x,
又∵AC=6,
则10-t=6,解得t=4s,
∴经过4s后△APC是等腰三角形;
③若AP=CP,P与O重合,
则AP=BP=5,
∴经过5s后△APC是等腰三角形.
点评:此题主要考查垂径定理和等腰三角形的判定,注意三种情况的考虑.
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