Question

10．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°．∠BAC的平分线与线段AB的中垂线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠AOF的度数是（　　）

• A． 105°
• B． 110°
• C． 115°
• D． 120°

Answer 1

分析 连接OB，根据中垂线的性质就可以得出AO=BO，就有∠OAB=∠OBA，根据角平分线的性质就可以求出∠EBO的度数，通过△ABO≌△ACO就有BO=CO，就有∠OBC=∠OCB，再由轴对称就可以求出OF=CF，求得∠FCO=∠FOC=25°，利用三角形的外角得出∠AFO=50°，进一步利用三角形的内角和求出结论．

解答 解：如图，

连接OB，
∵OD垂直平分AB，
∴AO=BO，
∴∠OAB=∠OBA．
∵AB=AC，∠BAC=50°
∴∠ABC=∠ACB=65°．
∵OA平分∠BAC，
∴∠BAO=∠CAO=$\frac{1}{2}$∠BAC=25°，
∴∠OBA=25°，
∴∠OBC=40°．
在△ABO和△ACO中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAO=∠CAO}\\{AO=AO}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△ACO（SAS），
∴BO=CO，
∴∠OBC=∠OCB=40°．
∵△EOF与△ECF关于EF对称，
∴△EOF≌△ECF，
∴OF=CF，
∴∠FCO=∠FOC=25°．
∴∠AFO=50°，
∴∠AOF=180°-∠OAF-∠AFO=105°．
故选：A．

点评 本题考查了等腰三角形的性质的运用，中垂线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，轴对称的性质的运用，解答时运用全等三角形的性质及轴对称的性质求解是关键．