Question

12．已知a、b为有理数，m、n分别表示5-$\sqrt{7}$的整数部分和小数部分，且amn+bn²=1，则2a+b=2.5．

Answer 1

分析 只需首先对5-$\sqrt{7}$估算出大小，从而求出其整数部分a，其小数部分用5-$\sqrt{7}$-a表示．再分别代入amn+bn²=1进行计算．

解答 解：∵2＜$\sqrt{7}$＜3，
∴-3＜-$\sqrt{7}$＜-2，
∴2＜5-$\sqrt{7}$＜3，
∵m、n分别表示5-$\sqrt{7}$的整数部分和小数部分，
∴m=2，n=5-$\sqrt{7}$-2=3-$\sqrt{7}$；
∵amn+bn²=1，
∴2a（3-$\sqrt{7}$）+b•${（3-\sqrt{7}）}^{2}$=1，
化简得（6a+16b）-$\sqrt{7}$（2a+6b）=1，
等式两边相对照，因为结果不含$\sqrt{7}$，
所以6a+16b=1且2a+6b=0，解得a=1.5，b=-0.5．
所以2a+b=3-0.5=2.5．
故答案为：2.5．

点评 本题主要考查了无理数大小的估算和二次根式的混合运算．能够正确估算出一个较复杂的无理数的大小是解决此类问题的关键．