Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，常数b＜0，m＞0，点A、B的坐标分别为(﹣，0)、(m，2m+b)，正方形BCDE的顶点C、D分别在x轴的正半轴上．

(1)直接写出点D和点E的坐标(用含b、m的代数式表示)；

(2)求的值；

(3)正方形BC′D′E′和正方形BCDE关于直线AB对称，点C′、D′、E′分别是点C、D、E的对称点，C′D′交y轴于点M，D′N⊥x轴，垂足为N，连接MN．

①若点N和点A关于y轴对称，求证：MN＝MD′；

②若，求的值．

Answer 1

【答案】(1)D(3m+b，0)，E(3m+b，2m+b)；(2)2；(3)①证明见解析；②1.

【解析】

（1）利用正方形性质得OA＝-，OC＝m，CD＝DE＝BE＝BC＝2m+b，OD＝OC+CD＝m+2m+b＝3m+b；

（2）由AC＝OC﹣OA＝m﹣(﹣)得

（3）①根据正方形和轴对称性质得∠ND'M＝∠D'NM；

②由，变形，，最后得AD＝3AO，由3m+＝3()

解得：b＝﹣m即可.

解：(1)∵四边形BCDE是正方形

∴∠ACB＝∠BCD＝∠CDE＝∠E＝90°，BC＝CD＝DE＝BE

∵A(﹣，0)，B(m，2m+b)，

∴OA＝-，OC＝m，CD＝DE＝BE＝BC＝2m+b

∴OD＝OC+CD＝m+2m+b＝3m+b

∴D(3m+b，0)，E(3m+b，2m+b)

(2)∵AC＝OC﹣OA＝m﹣(﹣)＝m+

∴

(3)①连接AC'，

∵正方形BC′D′E′和正方形BCDE关于直线AB对称

∴AC'＝AC，∠AC'B＝∠ACB＝90°

∵正方形BC'D'E'中，∠BC'D'＝90°

∴∠AC'D'＝90°+90°＝180°，即点A、C'、D'在同一直线上

∵点N和点A关于y轴对称，M在y轴上

∴MN＝MA

∴∠MNA＝∠MAN

∵D'N⊥x轴

∴∠D'NA＝∠D'NM+∠MNA＝90°

∴∠ND'M+∠MAN＝90°

∴∠ND'M＝∠D'NM

∴MN＝MD′

②∵

∴

∴

∴

∴AD2﹣AO2＝8AO2

∴AD2＝9AO2

∴AD＝3AO

∵AD＝OD﹣OA＝3m+b﹣()＝3m+

∴3m+＝3()

解得：b＝﹣m

∴.