题目内容
如图，已知在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，且a、b是关于x的一元二次方程x2+4（c+2）=（c+4）x的两个根，点D在AB上，以BD为直径的⊙O切AC于点E，（1）求证：△ABC是直角三角形；
（2）若tanA=
| 3 | 4 |
分析：（1）将一元二次方程整理为一般形式，由两根关系定理得a+b=c+4，ab=4（c+2），根据a2+b2=（a+b）2-2ab，将两根关系的式子代入得出a2+b2=c2，根据勾股定理的逆定理判断；
（2）连接OE，在Rt△ABC中，由tanA=
=
，设BC=a=3x，则AC=b=4x，由勾股定理得AB=c=5x，代入a+b=c+4中求x，由OE⊥AC，BC⊥AC，可证△AOE∽△ABC，设BO=OE=r，由相似得
=
=
，先求r，再求AE．
（2）连接OE，在Rt△ABC中，由tanA=
| BC |
| AC |
| 3 |
| 4 |
| OE |
| BC |
| OA |
| AB |
| AE |
| AC |
解答：（1）证明：由已知，得x2-（c+4）x+4（c+2）=0，
由两根关系定理得a+b=c+4，ab=4（c+2），
∴a2+b2=（a+b）2-2ab=（c+4）2-8（c+2）=c2，
∴△ABC是直角三角形；
（2）解：连接OE，设BO=OE=r，
∵⊙O切AC于点E，
∴OE⊥AC，
在Rt△ABC中，由tanA=
=
，设BC=a=3x，则AC=b=4x，
则AB=c=5x，代入a+b=c+4中，得
3x+4x=5x+4，
解得x=2，
∴a=3x=6，b=4x=8，c=5x=10，
∵OE⊥AC，BC⊥AC，
∴OE∥BC，
∴△AOE∽△ABC，
∴
=
=
，
即
=
=
，
解得r=
，AE=5．
由两根关系定理得a+b=c+4，ab=4（c+2），
∴a2+b2=（a+b）2-2ab=（c+4）2-8（c+2）=c2，
∴△ABC是直角三角形；
（2）解：连接OE，设BO=OE=r，
∵⊙O切AC于点E，
∴OE⊥AC，
在Rt△ABC中，由tanA=
| BC |
| AC |
| 3 |
| 4 |
则AB=c=5x，代入a+b=c+4中，得
3x+4x=5x+4，
解得x=2，
∴a=3x=6，b=4x=8，c=5x=10，
∵OE⊥AC，BC⊥AC，
∴OE∥BC，
∴△AOE∽△ABC，
∴
| OE |
| BC |
| OA |
| AB |
| AE |
| AC |
即
| r |
| 6 |
| 10-r |
| 10 |
| AE |
| 8 |
解得r=
| 15 |
| 4 |
点评：本题属于压轴题，综合考查了一元二次方程的两根关系，勾股定理逆定理的运用，切线的性质，相似三角形及解直角三角形的知识，关键是根据题意，找到解题的突破口．
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