题目内容
【题目】将矩形ABCD沿对角线BD翻折，点A落在点A′处，AD交BC于点E，点F在CD上，连接EF，且CE＝3CF，如图1．
（1）试判断△BDE的形状，并说明理由；
（2）若∠DEF＝45°，求tan∠CDE的值；
（3）在（2）的条件下，点G在BD上，且不与B、D两点重合，连接EG并延长到点H，使得EH＝BE，连接BH、DH，将△BDH沿DH翻折，点B的对应点B′恰好落在EH的延长线上，如图2．当BH＝8时，求GH的长．
【答案】（1）△BDE是等腰三角形；理由见解析；（2）tan∠CDE＝
；（3）GH＝
．
【解析】
（1）根据折叠的性质和平行线的性质得：
，由等角对等边可得
是等腰三角形；
（2）如图1，过点
作
于
，根据等腰直角三角形的性质得：
，设
，
，由勾股定理得
，
，设
，根据三角函数定义可得
，最后利用勾股定理列方程可得
与
的关系，从而得结论；
（3）如图2，作辅助线，构建全等三角形，证明
，得
，从而由等腰三角形三线合一的性质得
，证明
，列比例式可得结论．
解：（1）是等腰三角形，
理由是：如图1，
四边形
是矩形，
，
，
由折叠得：
，
，
，
是等腰三角形；
（2）如图1，过点作于，
，
，
四边形是矩形，
，
，
设，，
，
，
，，
，
设，
，
，
，
，即
，
解得：
或
（舍
，
；
（3）如图2，过点
作
，
由折叠得：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
由（2）知：
，则
，
，
，
，
，
，
．
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