Question

E为正方形ABCD的边上的中点，AB=1，MN⊥DE交AB于M，交DC的延长线于N，
求证：（1）EC²=DC•CN；（2）CN=；（3）NE=．

Answer 1

【答案】分析：（1）在Rt△DEN中，EC⊥DN，易证得△ECD∽△NCE，即可得到所求的比例关系式；
（2）已知了正方形的边长，即可得到CD、CE的长，套用（1）的结论即可得CN的值；
（3）在Rt△NCE中，利用勾股定理即可求得NE的长．
解答：证明：（1）∵NM⊥EC，即∠DEN=90°，
∴∠DEC=∠N=90°-∠CEN，
又∵∠DCE=∠ECN，
∴△ECD∽△NCE，
∴，即CE²=DC•CN．

（2）由题意知：AB=CD=1，CE=BE=，
由（1）的结论知：CN=CE²÷DC=．

（3）在Rt△CEN中，EN===．
点评：此题主要考查的是正方形的性质、相似三角形的判定和性质以及勾股定理的应用，难度不大．