Question

26、如图1，O为正方形ABCD的中心，分别延长OA、OD到点F、E，使OF=2OA，OE=2OD，连接EF．将△EOF绕点O逆时针旋转α角得到△E₁OF₁（如图2）．
（1）探究AE₁与BF₁的数量关系，并给予证明；
（2）当α=30°时，求证：△AOE₁为直角三角形．

Answer 1

分析：（1）利用旋转不变量找到相等的角和线段，证得△E₁AO≌△F₁BO后即可证得结论；
（2）利用已知角，得出∠GAE₁=∠GE ₁A=30°，从而证明直角三角形．

解答：解：（1）AE₁=BF₁．
证明：∵O为正方形ABCD的中心，
∴OA=OD，
∵OF=2OA，OE=2OD，
∴OE=OF，
∵将△EOF绕点O逆时针旋转α角得到△E₁OF₁
∴OE₁=OF₁，
∵∠F₁OB=∠E₁OA，OA=OB，
∴△E₁AO≌△F₁BO，
∴AE₁=BF₁；

（2）∵取OE ₁中点G，连接AG，
∵∠AOD=90°，α=30°，
∴∠E ₁OA=90°-α=60°，
∵OE ₁=2OA，∴OA=OG，
∴∠E ₁OA=∠AGO═∠OAG=60°，
∴AG=GE ₁，∴∠GAE₁=∠GE ₁A=30°，∴∠E₁AO=90°，
∴△AOE₁为直角三角形．

点评：本题考查了正方形的性质，利用正方形的特殊性质求解．结合了三角形全等的问题，并且涉及到探求性的问题，属于综合性比较强的问题．要求解此类问题就要对基本的知识点有很清楚的认识，熟练掌握．