Question

如图所示，在以O为圆心的两个同心圆中，小圆的半径为1，AB与小圆相切于点A，与大圆相交于点B，大圆的弦BC⊥AB于点B，过点C作大圆的切线CD交AB的延长线于点D，连接OC交小圆于点E，连接BE、BO．

(1)求证：△AOB∽△BDC；

(2)设大圆的半径为x，CD的长为y：

①求y与x之间的函数关系式；

②当BE与小圆相切时，求x的值．

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明：如图，∵AB与小圆相切于点A，CD与大圆相交于点C， 　　∴∠OAB＝∠OCD＝90° 　　∵BC⊥AB 　　∴∠CBA＝∠CBD＝90°　1分 　　∵∠1＋∠OBC＝90° 　　∠2＋∠OCB＝90° 　　又∵OC＝OB 　　∴∠OBC＝∠OCB 　　∴∠1＝∠2　2分 　　∴△AOB∽△BDC　3分 　　(2)解：①过点O作OF⊥BC于点F，则四边形OABF是矩形　4分 　　∴BF＝OA＝1 　　由垂径定理，得BC＝2BF＝2　5分 　　在Rt△AOB中，OA＝1，OB＝x 　　∴AB＝＝　6分 　　由(1)得△AOB∽△BDC 　　∴ 　　即＝ 　　∴y＝(或y＝)　7分 　　②当BE与小圆相切时，OE⊥BE 　　∵OE＝1，OC＝x 　　∴EC＝x－1　BE＝AB＝　8分 　　在Rt△BCE中，EC2＋BE2＝BC2 　　即(x－1)2＋()2＝22　9分 　　解得：x1＝2　x2＝－1(舍去)　10分 　　∴当BE与小圆相切时，x＝2　11分