Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中不正确的是

1. A.
   AD是∠BAC的平分线
2. B.
   ∠ADC=60°
3. C.
   点D在AB的中垂线上
4. D.
   S_△DAC：S_△ABD=1：3

Answer 1

D
分析：①根据作图的过程可以判定AD是∠BAC的角平分线；
②利用角平分线的定义可以推知∠CAD=30°，则由直角三角形的性质来求∠ADC的度数；
③利用等角对等边可以证得△ADB的等腰三角形，由等腰三角形的“三合一”的性质可以证明点D在AB的中垂线上；
④利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积之比．
解答：根据作图方法可得AD是∠BAC的平分线，故①正确；
∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠DAC=∠DAB=30°，
∴∠ADC=60°，故②正确；
∵∠B=30°，∠DAB=30°，
∴AD=DB，
∴点D在AB的中垂线上，故③正确；
∵∠CAD=30°，
∴CD=AD，
∵AD=DB，
∴CD=DB，
∴CD=CB，
S_△ACD=CD•AC，S_△ACB=CB•AC，
∴S_△ACD：S_△ACB=1：3，
∴S_△DAC：S_△ABD≠1：3，
故④错误，
故选：D．
点评：本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图-基本作图．解题时，需要熟悉等腰三角形的判定与性质．