Question

如图，定长的弦ST在一个以AB为直径的半圆上滑动，M是ST的中点，P是S对AB作垂线的垂足，
求证：不管ST滑到什么位置，∠SPM是一定角．

Answer 1

解：连接OS、OT、OM．
∵M是ST的中点，
∴OM⊥ST．
又SP⊥AB，
∴S、P、O、M四点共圆，
∴∠SPM=∠SOM．
∵OS=OT，OM⊥ST，
∴∠SOM=∠SOT，
∴∠SPM=∠SOM=∠SOT．
故不管ST滑到什么位置，∠SPM是一定角．
分析：首先根据垂径定理的推论，得OM⊥ST，发现S、P、O、M四点共圆，则∠SPM=∠SOM，再根据等腰三角形的三线合一，得∠SOM=∠SOT．
点评：此题综合运用了垂径定理的推论、圆内接四边形的判定和性质以及圆周角定理．