Question

在平面直角坐标系中，已知点P₀的坐标为（1，0），将点P₀绕着原点按逆时针方向旋转30°得到点P₁，延长OP₁，到点P₂，使OP₂=2OP₁；再将点P₂绕着原点按逆时针方向旋转30°得到点P₃，延长OP₃，到P₄，使OP₄=2OP₃；如此继续下去，求：
（1）点P₂的坐标；
（2）点P₂₀₁₀的坐标．

Answer 1

解：（1）设P₂的坐标为（x，y），作P₂M⊥x轴，垂足为M．
∵OP₂=2OP₁=2OP_O=2×1=2．∠P₂OM=30°，
∴y=MP₂=2sin30°=1，x=OM=2cos30°=，
∴P₂的坐标为（，1）；

（2）∵OP₂=2¹=2；OP₄=2²=4，
∴OP₂₀₁₀=2¹⁰⁰⁵，
∵每24个点将转一圈回到x轴，
∴2010÷24=24×83+18．
∴点P在y轴负半轴上．
∴P坐标为（0，-2¹⁰⁰⁵）．
∴P₂₀₁₀的坐标是（0，-2¹⁰⁰⁵）．
分析：（1）做P₂⊥x轴于一点，利用30°的三角函数可求得P₂的横纵坐标．
（2）应先找到各个点所在的象限或者坐标轴的位置．相邻的以奇数开头的两个点在同一直线上，可得到24个点将转一圈：即回到x轴．那么应让2010÷24=83…18可得所求的点在y轴的负半轴上，利用OP₂=2¹=2；OP₄=2²=4，则OP₂₀₁₀=2¹⁰⁰⁵，进而可得点P₂₀₁₀的坐标．
点评：本题主要考查对坐标与图形变换-旋转等知识点的理解和掌握，解决本题的关键是通过作图，分析，观察，得到相应的规律．