Question

如图，已知二次函数y=-x²+2mx的图象经过点B（1，2），与x轴的另一个交点为A，点B关于抛物线对称轴的对称点为C，过点B作直线BM⊥x轴垂足为点M．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在直线BM上有点P（1，），联结CP和CA，判断直线CP与直线CA的位置关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，在坐标轴上是否存在点E，使得以A、C、P、E为顶点的四边形为直角梯形？若存在，求出所有满足条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵点B（1，2）在二次函数y=-x²+2mx的图象上，
∴-1²+2m=2
解得m=．
故二次函数的解析式为y=-x²+3x；

（2）直线CP与直线CA的位置关系是垂直．
∵二次函数的解析式为y=-x²+3x，
∴点A（3，0），C（2，2），
∵P（1，），
∴PA²=，PC²=，AC²=5，
∴PA²=PC²+AC²，
∴∠PCA=90°，即CP⊥CA；

（3）假设在坐标轴上存在点E，使得以A、C、P、E为顶点的四边形为直角梯形，
∵∠PCA=90°，
则①当点E在x轴上，PE∥CA，
∴△CBP∽△PME，
∴=，
∴ME=，
∴E₁（，0）；
②当点E在y轴上，PC∥AE，
∴△CBP∽△AOE，
∴=，
∴OE=，
∴E₂（0，-）．
即点Q的坐标E₁（，0）、E₂（0，-）时，以A、C、P、E为顶点的四边形为直角梯形．
分析：（1）将点B（1，2），代入二次函数y=-x²+2mx，得到关于m的方程，求得m的值，从而得到二次函数的解析式；
（2）根据题意可知点A（3，0），C（2，2），P（1，），根据两点间的距离公式可得PA，PC，AC的长，再根据勾股定理的逆定理即可判断直线CP与直线CA的位置关系；
（3）分①当点E在x轴上，PE∥CA，②当点E在y轴上，PC∥AE，两种情况讨论即可得到使得以A、C、P、E为顶点的四边形为直角梯形的点E的坐标．
点评：考查了二次函数综合题，涉及到：直角梯形的性质、二次函数解析式的确定、两点间的距离公式、勾股定理的逆定理、相似三角形的判定和性质等重要知识点．（3）题中，注意要分类讨论，以免漏解．