Question

【题目】已知抛物线的函数关系式：y=x2+2（a﹣1）x+a2﹣2a（其中x是自变量），

（1）若点P（2，3）在此抛物线上，

①求a的值；

②若a＞0，且一次函数y=kx+b的图象与此抛物线没有交点，请你写出一个符合条件的一次函数关系式（只需写一个，不要写过程）；

（2）设此抛物线与轴交于点A（x1，0）、B（x2，0）．若x1＜＜x2，且抛物线的顶点在直线x=的右侧，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）与此抛物线无交点的直线可以是y=x﹣2．（2）﹣＜a＜．

【解析】

试题分析：（1）①将P点坐标代入抛物线的解析式中即可求出a的值．

②可根据①得出的a的值求出抛物线的解析式，然后根据抛物线的解析式即可写出符合条件的一次函数关系式．

（2）本题可从两方面考虑：

①根据x1＜＜x2，以及抛物线的开口向上可得出当x=时，函数值必小于0，由此可得出一个a的取值范围．

②由于抛物线的顶点在直线x=的右侧，也就是说抛物线的对称轴在x=的右侧，由此可得出另一个a的取值范围．结合两种情况即可求出a的取值范围．

解：（1）①将P（2，3）代入y=x2+2（a﹣1）x+a2﹣2a

得a2+2a﹣3=0，（a+3）（a﹣1）=0

∴a=﹣3或a=1

②∵a＞0，

∴由（1）知a=1，原函数化简为y=x2﹣1，

故与此抛物线无交点的直线可以是y=x﹣2．

（2）∵顶点在x=右侧，即对称轴x=﹣=1﹣a在的右侧，

∴1﹣a＞

∴a＜

由于x1＜＜x2；

∴抛物线在自变量取时，

则变量必小于0．

∴3+2（a﹣1）+a2﹣2a＜0；

解得﹣＜a＜2﹣

∵x=﹣（a﹣1）＞，即a＜；

∴﹣＜a＜．