Question

【题目】如图矩形ABCD中,AB=12,BC=8,E、F分别为AB、CD的中点,点P、Q从A. C同时出发,在边AD、CB上以每秒1个单位向D、B运动,运动时间为t(0<t<8).

(1)如图1，连接PE、EQ、QF、PF，求证：无论t在0<t<8内取任何值，四边形PEQF总为平行四边形；

(2)如图2，连接PQ交CE于G，若PG=4QG，求t的值；

(3)在运动过程中，是否存在某时刻使得PQ⊥CE于G?若存在，请求出t的值：若不存在，请说明理由

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）不存在，理由见解析.

【解析】

（1）由矩形的性质得出CD=AB=12，AD=BC=8，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，由SAS证明△APE≌△CQF，得出PE=QF，同理：PF=QE，即可得出结论；

（2）根据题意得：AP=CQ=t，∴PD=QB=8-t，作EF∥BC交CD于E，交PQ于H，证出EH是梯形ABQP的中位线，由梯形中位线定理得出EH= （AP+BQ）=4，证出GH：GQ=3：2，由平行线得出△EGH∽△CGQ，得出对应边成比例 ，即可得出t的值；

（3）由勾股定理求出CE= =10，作EM∥BC交PQ于M，由（2）得：ME=4，证出△GCQ∽△BCE，得出对应边成比例求出CG=t，得出EG=10- t，由平行线证明△GME∽△GQC，得出对应边成比例，求出t=0或t=8.5，即可得出结论．

(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴CD=AB=12,AD=BC=8,∠A=∠B=∠C=∠D=90°，

∵E、F分别为AB、CD的中点，

∴AE=BE=6，DF=CF=6，

∴AE=BE=DF=CF，

∵点P、Q从A. C同时出发，在边AD、CB上以每秒1个单位向D、B运动，

∴AP=CQ=t，

在△APE和△CQF中, ，

∴△APE≌△CQF(SAS),

∴PE=QF，

同理：PF=QE，

∴四边形PEQF总为平行四边形；

(2)根据题意得：AP=CQ=t，

∴PD=QB=8t，

作EF∥BC交CD于E，交PQ于H，如图2所示：

则F为CD的中点，H为PQ的中点，EF=BC=8，

∴EH是梯形ABQP的中位线，

∴EH= (AP+BQ)=4，

∵PG=4QG，

∴GH:GQ=3:2，

∵EF∥BC，

∴△EGH∽△CGQ，

∴ = ,即4t=，

解得：t=，

∴若PG=4QG,t的为 值;

(3)不存在，理由如下：

∵∠B=90°，BE=6，BC=8，

∴CE= =10，

作EM∥BC交PQ于M，如图3所示：

由(2)得：ME=4，

∵PQ⊥CE，

∴∠CGQ=90°=∠B，

∵∠GCQ=∠BCE，

∴△GCQ∽△BCE，

∴ ,即=，

∴CG=t，

∴EG=10t，

∵EM∥BC，

∴△GME∽△GQC，

∴ ,即 ，

解得：t=0或t=8.5，

∵0<t<8，

∴不存在。