Question

如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接BC。

（1）求A、B、C三点的坐标；

（2）若点P为线段BC上的一点（不与B、C重合），PM∥y轴，且PM交抛物线于点M，交x轴于点N，当△BCM的面积最大时，求△BPN的周长；

（3）在（2）的条件下，当BCM的面积最大时，在抛物线的对称轴上存在点Q，使得△CNQ为直角三角形，求点Q的坐标。

Answer 1

   

解：（1）令x=0，解得y=3

∴点C的坐标为（0,3）

令y=0，解得x₁=-1，x₂=3

∴点A的坐标为（-1,0）

  点B的坐标为（3,0）

（2）由A，B两点坐标求得直线AB的解析式为y=-x+3

设点P的坐标为（x，-x+3）（0＜x＜3）

∵PM∥y轴

∠PNB=90°，点M的坐标为（x，-x²+2x+3）

∴PM=（-x²+2x+3）-（-x+3）

=-x²+3x

∵

∴当x=时的面积最大

此时，点P的坐标为（，）

∴PN=，BN=，BP=

∴.

（3）求得抛物线对称轴为x=1

设点Q的坐标为（1，）

∴

①       当∠CNQ=90°时， 如图1所示

即

解得：

∴Q₁（1，）

②       当∠NCQ=90°时，如图2所示

即

解得：

∴Q₂（1，）

③       当∠CQN=90°时，如图3所示

即

解得：

∴Q₃（1，）Q₄（1，）