Question

如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax²+bx+3的图象与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点，其图象顶点为D，OB=OC，tan∠ACO=

1

3

．
（1）填空：点A的坐标

 

、点B的坐标

 

；
（2）求二次函数y=ax²+bx+3及直线CD的解析式；
（3）直线CD与x轴交于点E，是否存在点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出所有点F的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）直接得出点C的坐标，再根据OB=OC，得出点B的坐标，再由tan∠ACO=

1

3

，得出OC=3OA，从而得出点A的坐标；
（2）将AB两点代入即可得出二次函数y=ax²+bx+3的解析式，再求得点D的坐标，从而得出直线CD的解析式；
（3）分三种情况：①以AC、AE为邻边：则CF

∥ .

.

AE②以EC、AE为邻边：则CF

∥ .

.

AE；③以AC、EC为邻边．

解答：解：（1）A（-1，0）、B（3，0）；（2分）

（2）（方法一）
∵点A、B在二次函数y=ax²+bx+3的图象上
∴

a-b+3=0 9a+3b+3=0

得：

a=-1 b=2

∴二次函数解析式为y=-x²+2x+3（4分）
∵-

b

2a

=-

2

2×(-1)

=1

4ac-b2

4a

=

4×(-1)×3-22

4×(-1)

=4
∴顶点D（1，4）（5分）
设直线CD的解析式为：y=k₁x+b₁

b1=3 k1+b1=4

得：

b1=3 k1=1

∴直线CD的解析式为：y=x+3（7分）
（方法二）
设二次函数解析式为y=a（x+1）（x-3）
∵点C（0，3）在二次函数图象上∴-3a=3，a=-1
∴y=-x²+2x+3（4分）=-（x-1）²+4∴顶点D（1，4）（5分）
设直线CD的解析式为：y=k₁x+b₁

b1=3 k1+b1=4

得：

b1=3 k1=1

∴直线CD的解析式为：y=x+3（7分）

（3）当y=0时，x+3=0
解得：x=-3，∴E（-3，0）（8分）
存在点F，使以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形
有三种情况：
①以AC、AE为邻边：则CF

∥ .

.

AE
∵AE=2，∴F（-2，3）（9分）
②以EC、AE为邻边：则CF

∥ .

.

AE
∵AE=2，∴F（2，3）（10分）
③以AC、EC为邻边：
过F作FG⊥x轴则△EGF≌△AOC，∴EG=OA=1，GF=OC=3
∵F在第三象限∴F（-4，-3）（11分）
综上所述：点F的坐标为（2，3）或（-2，3）或（-4，-3）（12分）

点评：本题是一道综合题，考查了二次函数解析式和一次函数解析式的求法，以及平行四边形的判定，主要考查学生数形结合的数学思想方法．