Question

如图，已知⊙O与CA、CB相切于点A、B，OA=OB=2

3

cm，AB=6 cm，求∠ACB的度数．

Answer 1

分析：过O作OD⊥AB于D；根据等腰三角形三线合一的性质知：OD垂直平分AB，且OD平分∠AOB；
在Rt△OBD中，已知了OB、BD的长，可求出∠BOD的正弦值，进而可求出∠BOD、∠AOB的度数．
在四边形AOBC中，∠AOB和∠ACB互补，由此可求出∠ACB的度数．

解答：解：过O作OD⊥AB于D；
△OAB中，OA=OB，OD⊥AB；
∴AD=BD，∠AOD=∠BOD=

1

2

∠AOB（等腰三角形三线合一）；
Rt△BOD中，OB=2

3

，BD=3；
∴sin∠BOD=

BD

OB

=

3

2

，即∠BOD=60°；
∴∠AOB=120°；
∵CB、CA都是⊙O的切线，
∴∠OAC=∠OBC=90°；
∴∠AOB+∠ACB=180°，
∴∠ACB=180°-∠AOB=60°．

点评：此题考查了垂径定理、解直角三角形、多边形的内角和、切线的性质等知识．