Question

两个反比例函数y=

k1

x

和y=

k2

x

（k₁＞k₂＞0）在第一象限内的图象如图所示，动点P在y=

k1

x

的图象上，PC⊥x轴于点C，交y=

k2

x

的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交y=

k2

x

的图象于点B．
（1）求证：四边形PAOB的面积是定值；
（2）当

PA

PC

=

2

3

时，求

DB

BP

的值；
（3）若点P的坐标为（5，2），△OAB、△ABP的面积分别记为S_△OAB′S_△ABP．设S=S_△OAB-S_△ABP′
①求k₁的值；
②当k₂为何值时，S有最大值，最大值为多少？

Answer 1

分析：（1）让矩形OCPD的面积减去周围几个直角三角形的面积，其中面积应整理为和函数上的点的坐标有关的式子；
（2）利用（1）中两个三角形的面积相等，得到相关线段的比值；
（3）把P坐标代入所在的反比例函数即可求得比例系数的值；所求面积为（1）中所求的面积减去2个△ABP的面积，整理为二次函数的一般形式，求出最值．

解答：（1）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₃，y₃），
△AOC与△BOD的面积分别为S₁，S₂，矩形PCOD的面积为S₃，
由题意，得y1=

k2

x1

，y2=

k2

x2

，y3=

k1

x3

，
∴S1=

1

2

x1y1=

1

2

k2，S2=

1

2

x2y2=

1

2

k2，S₃=x₃y₃=k₁，
∴S_{四边形PAOB}=S₃-（S₁+S₂）=K₁-K₂，
∴四边形PAOB的面积是定值；（2分）

（2）解：由（1）可知S₁=S₂，则OD•BD=OC•AC
又∵PA=

2

3

PC
∴AC=

1

3

PC
∵DP=OC，OD=PC
∴BD=

1

3

DP
∴

DB

BP

=

1

2

；（4分）

（3）解：①由题意知：k₁=x_Py_P=10；（5分）
②A、B两点坐标分别为A(5，

k2

5

)，B(

k2

2

，2)
∴S△ABP=

1

2

AP•BP=

1

2

(2-

k2

5

)(5-

k2

2

)
∴S=S四边形PAOB-2S△ABP=10-k2-2×

1

2

(2-

k2

5

)(5-

k2

2

)
∴S=-

1

10

k22+k2
∴当k₂=5时，s有最大值

5

2

．（7分）

点评：求坐标系内图形的面积，通常整理为矩形面积减去若干直角三角形的面积的形式．在做题过程中应注意所列的式子都应与反比例函数上的点的坐标有关．