Question

如图，在平面直角系中，直线AB：y=

4

a

x+4(a≠0)分别交x轴、y轴于B、A两点．直线AE分别交x轴、y轴于E、A两点，D是x轴上的一点，OA=OD．过D作CD⊥x轴交AE于C．连接BC，当动点B在线段OD上运动（不与点O点D重合）且AB⊥BC时．
（1）求证：△ABO∽△BCD；
（2）求线段CD的长（用a的代数式表示）；
（3）若直线AE的方程是y=-

13

16

x+b，求tan∠BAC的值．

Answer 1

分析：（1）根据已知得出∠BAO=∠CBD，以及再利用∠CDO=∠AOD=90°，即可得出三角形相似；
（2）利用相似三角形的性质得出

CD

OB

=

BD

AO

，进而表示出CD的长；
（3）根据C点坐标求出a的值，进而求出tan∠BAC=

BC

AB

=

BD

AO

=

4+a

4

的值即可．

解答：（1）证明：∵CD⊥BE，
∴∠CDO=∠AOD=90°，
∴∠ABO+∠BAO=90°，
∵CB⊥AB，∴∠ABO+∠CBD=90°，
∴∠BAO=∠CBD，
∴△ABO∽△BCD；

（2）解：∵A（0，4），B（-a，0）（a＜0），
∴AO=4，BO=-a，
∵△ABO∽△BCD，
∴

CD

OB

=

BD

AO

，
∵OD=AO=4，
∴CD=

-a(4+a)

4

（-4＜a＜0），

（3）解：∵C（4，

-a(4+a)

4

），
b=4，
∴

-a(4+a)

4

=-

13

16

×4+4，
即：a²+4a+3=0，
解得：a₁=-1，a₂=-3，
∵△ABO∽△BCD，
∴

BC

AB

=

BD

AO

，
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，
tan∠BAC=

BC

AB

=

BD

AO

=

4+a

4

，
当a₁=-1时，tan∠BAC=

3

4

，
当a₂=-3时，tan∠BAC=

1

4

．
综上所述：tan∠BAC=

3

4

或tan∠BAC=

1

4

．

点评：此题主要考查了一次函数的综合应用以及相似三角形的判定与性质，灵活利用相似三角形的性质是解题关键．