Question

如图，在平面直角标系中，已知点A（0，6），B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒．
（1）求直线AB的解析式；
（2）求t为何值时，△APQ与△AOB相似？并求出此时点P与点Q的坐标；
（3）当t为何值时，△APQ的面积为

24

5

个平方单位？

Answer 1

分析：（1）用待定系数法可直接求出直线AB的解析式；
（2）用含t的代数式表示AP、AQ，根据三角形相似的对应关系，利用相似比求出时间t；再利用相似比可求点P与点Q的坐标；
（3）利用相似比求出△APQ的AP边上的高，根据面积公式列方程求t．

解答：解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，
则

b=6 8k+b=0

解得

k=- 3 4 b=6

∴y=-

3

4

x+6；

（2）由题意可知AO=6，BO=8，则AB=10，且AP=t，BQ=2t，△APQ与△AOB相似有两种情况：
①当∠APQ=∠AOB时，如图（1），有

AP

AO

=

AQ

AB

，即

t

6

=

10-2t

10

，解得t=

30

11

，
则OP=6-

30

11

=

36

11

，则P的坐标是：（0，

36

11

），
∵∠APQ=∠AOB，
∴PQ∥OB
∴

AP

OA

=

PQ

OB

，
则

30 11

6

=

PQ

8

，解得：PQ=

40

11

，
则Q的坐标是：（

40

11

，

36

11

）；
②当∠AQP=∠AOB时，如图（2），有

AQ

AO

=

AP

AB

，即

t

10

=

10-2t

6

，解得t=

50

13

，
则OP=OA-AP=6-

50

13

=

28

13

，
则P的坐标是：（0，

28

13

），
作QM⊥y轴，于M点．
△OAB与△QAP的相似比是：

t

10

=

5

13

，
△OAB的面积是：

1

2

OA•OB=

1

2

×6×8=24，
则△QAP的面积是：24×（

5

13

）²=

600

169

，
∵S_△QAP=

1

2

AP•MQ，即

600

169

=

1

2

×

50

13

•MQ，
解得：MQ=

60

13

，
∵MQ∥OB
∴

AM

OA

=

MQ

OB

，
则

AM

6

=

60 13

8

，解得：AM=

54

13

，
则OM=

24

13

故Q的坐标是：（

24

13

，

60

13

）；

（3）过Q作QH⊥OA于H，如图，
∴△AHQ∽△AOB，
∴

QH

OB

=

AQ

AB

，
∴

HQ

8

=

10-2t

10

，
∴HQ=

4

5

（10-2t），
∴

1

2

•t•

4

5

（10-2t）=

24

5

，
解得t=2或t=3．

点评：本题考查了待定系数法求直线解析式，直角坐标系中的相似性质的运用，面积等问题．