Question

如图1，Rt△ABC≌Rt△EDF，∠ACB=∠F=90°，∠A=∠E=30°，△EDF绕着边AB的中点D旋转，DE，DF分别交线段AC于点M，K。
（1）观察： ①如图2、图3，当∠CDF=0°或60°时，AM+CK_______MK（填“＞”，“＜”或“=”）；
②如图4，当∠CDF=30° 时，AM+CK___MK（只填“＞”或“＜”）；
（2）猜想：如图1，当0°＜∠CDF＜60°时，AM+CK____MK，证明你所得到的结论；
（3）如果MK²+CK²=AM²，请直接写出∠CDF的度数和的值。

Answer 1

解：（1）①在Rt△ABC中，D是AB的中点， ∴AD=BD=CD=，∠B=∠BDC=60° 又∵∠A=30°， ∴∠ACD=60°﹣30°=30°， 又∵∠CDE=60°，或∠CDF=60°时， ∴∠CKD=90°， ∴在△CDA中，AM（K）=CM（K）， 即AM（K）=KM（C）（等腰三角形底边上的垂线与中线重合）， ∵CK=0，或AM=0， ∴AM+CK=MK； ②由①，得∠ACD=30°，∠CDB=60°， 又∵∠A=30°，∠CDF=30，∠EDF=60°， ∴∠ADM=30°， ∴AM=MD，CK=KD， ∴AM+CK=MD+KD， ∴在△MKD中，AM+CK＞MK（两边之和大于第三边）； （2）＞ 证明：作点C关于FD的对称点G， 连接GK，GM，GD，则CD=GD，GK=CK，∠GDK=∠CDK， ∵D是AB的中点， ∴AD=CD=GD、 ∵∠A=30°， ∴∠CDA=120°， ∵∠EDF=60°， ∴∠GDM+∠GDK=60°，∠ADM+∠CDK=60°． ∴∠ADM=∠GDM， ∵DM=DM， ∴ ∴△ADM≌△GDM，（SAS） ∴GM=AM ∵GM+GK＞MK， ∴AM+CK＞MK； （3）由（2），得GM=AM，GK=CK， ∵MK2+CK2=AM2， ∴MK2+GK2=GM2， ∴∠GKM=90°， 又∵点C关于FD的对称点G， ∴∠CKG=90°，∠FKC=∠CKG=45°， 又有（1），得∠A=∠ACD=30°， ∴∠FKC=∠CDF+∠ACD， ∴∠CDF=∠FKC﹣∠ACD=15°， 在Rt△GKM中，∠MGK=∠DGK+∠MGD=∠A+∠ACD=60°， ∴∠GMK=30°， ∴=， ∴=。