Question

【题目】设A1，A2，A3，A4是数轴上的四个不同点，若|A1A3|=λ|A1A2|，|A1A4|=η|A1A2|，且，则称A3，A4调和分割A1，A2．已知平面上的点C，D调和分割点A，B，则( )

A. 点C可能是线段AB的中点

B. 点C，D可能同时在线段AB上

C. 点D一定不是线段AB的中点

D. 点C，D可能同时在线段AB的延长线上

Answer 1

【答案】C

【解析】

由题意可设A(0,0),B(1,0),C(c,0)D(d,0),结合条件,根据题意可得方

程的解的情况,用排除法选出正确的答案即可.

解:由已知不妨设A(0,0),B(1,0) ,C(c,0) ,D(d,0),

则(c,0)=λ(1,0),(d,0)=η(1,0),

λ=c, η=2;

代入得: (1),

若C是线段AB的中点,则c=,代入(1),d不存在,故C不可能是线段AB的中点,A错误;

同理D不可能是线段AB的中点,故C正确;

若C,D同时在线段AB上,则0≤c≤1, 0≤d≤1代入(1)c=d=1,此时C和D点重合,与条件矛盾,故B错误;

若C,D同时在线段AB的延长线上时,则λ>1, η>1,

与矛盾,故D错误；

所以C选项是正确的.