Question

【题目】一个自然数m，若将其数字重新排列可得一个新的自然数n，如果m=3n，我们称m是一个“希望数”．例如：3105=3×1035，71253=3×23751，371250=3×123750．

（1）请说明41不是希望数，并证明任意两位数都不可能是“希望数”．

（2）一个四位“希望数”M记为，已知，且c=2，请求出这个四位“希望数”．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）这个四位“希望数”为7425

【解析】试题分析：（1）根据3×14＝42≠41即可得出41不是希望数．

假设存在两位数是希望数，记为，根据＝3，即可得出b＝1、2、3，逐一分析当b＝1、2、3时a的值，验证后即可得出假设不成立，从而得出任意两位数都不可能是“希望数”；

（2）根据可分析出d＝0或5，当d＝0时可得出a＝4，结合c＝2即可得出此情况不成立；当d＝5时可得出a＝7，结合c＝2即可得出关于b的一元一次方程，解之即可得出b值，将a、b、c、d值代入该四位数中即可得出结论．

试题解析：

（1）解：∵3×14＝42≠51， ∴41不是希望数．

假设存在两位数是希望数，记为 ，

∴ ＝3 ．

∵3b为一位数，且b是3a的个位数，

∴b＝1，2，3．

当b＝1时，a＝7，3×17＝51≠71；

当b＝2时，a＝4，3×24＝72≠42；

当b＝3时，a＝1，3×31＝93≠13．

综上可知：假设不成立，即任意两位数都不可能是“希望数”

（2）解：∵，∴3d的个位是d，

∴d＝0或5．

当d＝0时，∵3a的个位是c，c＝2，

∴a＝4，

此时3c＝6＞4，不合适；

当d＝5时，∵3a的个位＋1是c，c＝2，

∴a＝7，

又∵，

∴3b＋2＝10＋b，解得：b＝4．

∴这个四位“希望数”为7425．