Question

如图，在△ABC中，∠A＞∠B，CR是∠C的平分线，AQ⊥CR，垂足为Q，P为AB的中点．求证：PQ＝(BC－AC)．

Answer 1

答案：
解析：

证明∵∠A＞∠B，∴BC＞AC，则延长AQ与BC交于D． 　　∵CR是∠ACB的平分线，且CR⊥AQ，∴∠ACQ＝∠DCQ，∠AQC＝∠DQC． 　　在△ACQ和△DCQ中，∠ACQ＝∠DCQ，CQ＝CQ，∠AQC＝∠DQC， 　　∴△ACQ≌△DCQ(ASA)，∴AC＝CD，AQ＝QD，∴Q是AD的中点． 　　∵P为AB的中点，∴PQ＝BD＝(BC－CD)＝(BC－AC)． 　　分析：由∠A＞∠B可知BC＞AC，因此要确定BC－AC与哪条线段的长相等．可延长AQ交BC于D，由CR平分∠ACB，AQ⊥CR可以证得AC＝CD，则BD＝BC－AC． 　　因而进一步需要证明PQ＝BD．观察图形，若PQ是△ABD的中位线，则PQ＝BD成立．已知P为AB的中点，且Q为AD的中点，因此问题可证．