Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=6cm，CD=4cm，BC=BD=10cm，点P由点B出发沿BD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，线段EF由DC出发沿DA方向匀速运动，速度为1cm/s，交BD于点Q，连接PE、PF，若设运动时间为t（s）（0＜t≤5）．
（1）填空：PD=

10-t

cm．（用含t的代数式表示）
（2）当t为何值时，PE与PF的和最小？
（3）在上述运动的过程中，以P、F、C、D、E为顶点的多边形的面积是否发生变化，试说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用BC=BD=10cm，点P由点B出发沿BD方向匀速运动，速度为1cm/s，即可表示出PD的长；
（2）当E、P、F三点在同一条直线上时，PE与PF的和最小．此时，点P与点Q重合，进而得出即可；
（3）①当0＜t＜5时，以P、F、C、D、E为顶点的多边形为五边形，②当t=5时，由（2）知：E、P、F三点在同一条直线上，分别得出即可．

解答：解：（1）∵BC=BD=10cm，点P由点B出发沿BD方向匀速运动，速度为1cm/s，
∴PD=10-t；
故答案为：10-t；

（2）当E、P、F三点在同一条直线上时，PE与PF的和最小．
此时，点P与点Q重合，
如图1，
∵BC=BD
∴∠C=∠BDC
∵EF∥DC
∴∠BFQ=∠C，∠3=∠BDC
∴∠BFQ=∠3
∵AD∥BC
∴∠1=∠BFQ
又∵∠2=∠3
∴∠1=∠2
∴DE=DQ，
由题意得：BP=DE=t，PD=10-t；
当点P与点Q重合时，PD=DQ=DE
则10-t=t，
解得：t=5；

（3）以P、F、C、D、E为顶点的多边形的面积不会发生变化．
理由如下：分两种情况讨论：
①当0＜t＜5时，以P、F、C、D、E为顶点的多边形为五边形，如图1，
∵EF是由线段DC平移得到的，
∴FC=DE=t，BF=10-t
∵PD=10-t
∴PD=BF
∵AD∥BC，
∴∠EDP=∠PBF
又∵BP=DE=t，
在△PDE和△FBP中，

BP=DE ∠FBP=∠EDP PF=DP

，
∴△PDE≌△FBP（SAS），
∴S_△PDE=S_△FBP
∵△BCD的面积是定值．
∴五边形PFCDE的面积不会发生变化．
②当t=5时，由（2）知：E、P、F三点在同一条直线上，
此时，以P、F、C、D、E为顶点的多边形即为四边形EFCD，如图2，
∵EF是由线段DC平移得到的，
∴FC=DE=5，BF=10-5=5
∵PD=10-5=5，
∴PD=BF
∵AD∥BC，
∴∠EDP=∠PBF
又∵BP=DE=5，
在△PDE和△FBP中，

BP=DE ∠FBP=∠EDP PF=DP

，
∴△PDE≌△FBP（SAS），
∴S_△PDE=S_△FBP
∵△BCD的面积是定值．
∴四边形EFCD的面积不会发生变化．

点评：本题利用了平行线的性质、全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式等知识，熟练利用全等三角形的性质得出S_△PDE=S_△FBP是解题关键．