Question

如图所示，二次函数y＝－x²＋2x＋m的图象与x轴的一个交点为A(3，0)，另一个交点为B，且与y轴交于点C．

(1)求m的值；

(2)求点B的坐标；

(3)该二次函数图象上有一点D(x，y)(其中x＞0，y＞0)使S_△ABD＝S_△ABC，求点D的坐标．

Answer 1

答案：
解析：

解答：解：(1)∵二次函数y＝－x2＋2x＋m的图象与x轴的一个交点为A(3，0)， 　　∴－9＋2×3＋m＝0， 　　解得：m＝3； 　　(2)∴二次函数的解析式为：y＝－x2＋2x＋3， 　　当y＝0时，－x2＋2x＋3＝0， 　　解得：x＝3或x＝－1， 　　∴B(－1，0)； 　　(3)过点D作DE⊥AB， 　　∵当x＝0时，y＝3， 　　∴C(3，0)， 　　若S△ABD＝S△ABC， 　　∵D(x，y)(其中x＞0，y＞0)， 　　则可得OC＝DE＝3， 　　∴当y＝3时，－x2＋2x＋3＝3， 　　解得：x＝0或x＝2， 　　∴点D的坐标为(2，3)． 　　分析：(1)由二次函数y＝－x2＋2x＋m的图象与x轴的一个交点为A(3，0)，利用待定系数法将点A的坐标代入函数解析式即可求得m的值； 　　(2)根据(1)求得二次函数的解析式，然后将y＝0代入函数解析式，即可求得点B的坐标； 　　(3)根据(2)中的函数解析式求得点C的坐标，由二次函数图象上有一点D(x，y)(其中x＞0，y＞0)，可得点D在第一象限，又由S△ABD＝S△ABC，可知点D与点C的纵坐标相等，代入函数的解析式即可求得点D的坐标． 　　点评：此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，考查了一元二次方程的解法以及三角形的面积问题等知识．此题综合性较强，但难度不大，属于中档题，解题的关键是掌握二次函数与一元二次方程的关系，注意数形结合与方程思想的应用．