Question

如图所示，二次函数 y=ax²+bx+c的图象与x轴交于点A和点B（A、B分别位于原点O的两侧），与y轴的下半轴交于点C，且tan∠OAC=2，AB=CB=5．
（1）求直线BC和二次函数的解析式；
（2）直线BC上是否存在这样的点P，使△PAB和△OBC相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设OB=k，则B（k，0），由tan∠OAC=2，AB=5得出A（k-5，0），C（0，2k-10），在△BOC中，利用勾股定理得出BC²=OC²+OB²，由此列出关于k的方程，解方程求出k的值，得到A（-2，0），B（3，0），C（0，-4），再利用待定系数法即可求出直线BC和二次函数的解析式；
（2）由于△OBC是直角三角形，由于点P在CB的延长线时∠PBA＞90°，点P在射线BC上时，∠PBA＜90°，所以当△PAB和△OBC相似时，P点只可能在射线BC上，分两种情况进行讨论：①PA⊥AB，由△COB∽△PAB，列出比例式，求出AP=

20

3

，进而得出点P的坐标；②当AP⊥PB时，由△COB∽△APB，列出比例式，求出PB=3．再过点P₂作P₂D⊥AB于D，由射影定理得出P₂B²=BD×BA，求出BD的值，进而得出点P的坐标．

解答：解：（1）设OB=k，则A（k-5，0），B（k，0），C（0，2k-10）．
在△BOC中，∵∠BOC=90°，
∴BC²=OC²+OB²，即25=（2k-10）²+k²，
解得k₁=3，k₂=5（舍去），
∴A（-2，0），B（3，0），C（0，-4）．
设直线BC的解析式为y=kx+m，
则

3k+m=0 m=-4

，
解得

k= 4 3 m=-4

，
∴直线BC的解析式为：y=

4

3

x-4；
设二次函数的解析式为y=a（x+2）（x-3），
把C（0，-4）代入，得-4=-6a，
解得a=

2

3

，
∴y=

2

3

（x+2）（x-3），即y=

2

3

x²-

2

3

x-4；

（2）直线BC上存在这样的点P，使△PAB和△OBC相似．理由如下：
P只可能在射线BC上，分两种情况：
设点P的坐标为（x，

4

3

x-4）．
①当PA⊥AB时，OC∥AP，△COB∽△PAB，
∴

OC

AP

=

OB

AB

，即

4

AP

=

3

5

，
解得AP=

20

3

，
∴-（

4

3

x-4）=

20

3

，
解得x=-2，
∴P₁（-2，-

20

3

）；
②当AP⊥PB时，△COB∽△APB，
∴

OB

PB

=

BC

AB

，即

3

PB

=

5

5

，
解得PB=3．
过点P₂作P₂D⊥AB于D，则P₂B²=BD×BA，
解得BD=

9

5

，
∴OD=3-

9

5

=

6

5

，即x=

6

5

，
∴

4

3

x-4=

4

3

×

6

5

-4=-

12

5

，
∴P₂（

6

5

，-

12

5

）．
综上可知，满足条件的点P的坐标为P₁（-2，-

20

3

），P₂（

6

5

，-

12

5

）．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，勾股定理，相似三角形的判定与性质，难度适中．利用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．