Question

9．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，P是反比例函数y=$\frac{12}{x}$（x＞0）图象上任意一点，以P为圆心，PO为半径的圆与x轴交于点 A、与y轴交于点B，连接AB．
（1）求证：P为线段AB的中点；
（2）求△AOB的面积．

Answer 1

分析 （1）利用圆周角定理的推论得出AB是⊙P的直径即可；
（2）首先假设点P坐标为（m，n）（m＞0，n＞0），得出OA=2OM=2m，OB=2ON=2n，进而利用三角形面积公式求出即可．

解答 （1）证明：∵点A、O、B在⊙P上，且∠AOB=90°，
∴AB为⊙P直径，
即P为AB中点；

（2）解：∵P为$y=\frac{12}{x}$（x＞0）上的点，
设点P的坐标为（m，n），则mn=12，
过点P作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，
∴M的坐标为（m，0），N的坐标为（0，n），
且OM=m，ON=n，
∵点A、O、B在⊙P上，
∴M为OA中点，OA=2 m；
N为OB中点，OB=2 n，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$OA•O B=2mn=24．

点评 此题主要考查了反比例函数综合以及三角形面积求法和圆周角定理推论等知识，熟练利用反比例函数的性质得出OA，OB的长是解题关键．