Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点D、C，直线AB与轴交于点，与直线CD交于点．

（1）求直线AB的解析式；

（2）点E是射线CD上一动点，过点E作轴，交直线AB于点F，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请求出点E的坐标；

（3）设P是射线CD上一动点，在平面内是否存在点Q，使以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的个数及其中一个点Q的坐标；否则说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）点E的坐标为或；（3）符合条件的点Q共3个，坐标为（3，1），（-6，4）或

【解析】

（1）先确定出A的坐标，再利用待定系数法即可得出结论；
（2）先表示出EF=|a+4-（-2a-2）|=|3a+6|，进而建立方程|3a+6|=4，求解即可得出结论；
（3）分三种情况，利用菱形的性质和中点坐标公式即可得出结论．

解：（1）∵点在上．

∴，解得，

即点A的坐标为（-2，2），

设直线AB的解析式为，

∴．

解得，

∴直线AB的解析式为．

（2）由题意，设点E的坐标为，则

∵轴，点F在直线上，

∴点F的坐标为，

∴，

∵以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，且，∴．

∵直线与轴交于点，

∴点的坐标为（0，4），

∴，即，

解得：或，

∴点E的坐标为或．

（3）

如图2，当BC为对角线时，点P，Q都是BC的垂直平分线，且点P和点Q关于BC对称，
∵B（0，-2），C（0，4），
∴点P的纵坐标为1，
将y=1代入y=x+4中，得x+4=1，
∴x=-3，
∴（-3，1），
∴（3，1）
当CP是对角线时，CP是BQ的垂直平分线，设Q（m，n），
∴BQ的中点坐标为，
代入直线y=x+4中，得 ①，
∵CQ=CB，
∴②，
联立①②得，

（舍）或，
∴（-6，4），

当PB是对角线时，PC=BA=6，
设P（c，c+4），
∴，
∴（舍）或，
∴P，
设Q（d，e）
∴，
∴，
∴Q，

符合条件的点Q共3个，坐标为（3，1），（-6，4）或．