Question

如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，，交AB于E，DF平分∠EDC交BC于F，连结EF．

（1）证明：EF=CF；

（2）当时，求EF的长．

Answer 1

解：（1）过D作DG⊥BC于G．由已知可得，四边形ABGD

为正方形．

∵DE⊥DC，∴∠ADE+∠EDG=90°=∠GDC+∠EDG，

∴∠ADE=∠GDC． 又∵∠A=∠DGC，且AD=GD，

∴△ADE≌△GDC．∴DE=DC，且AE=GC．

在△EDF和△CDF中，

∠EDF=∠CDF，DE=DC，

DF为公共边，

∴△EDF≌△CDF．

∴EF=CF．

（2）∵tan∠ADE=，∴AE=GC=2．

设EF=x，则BF=8-CF=8-x，BE=6-2=4.

由勾股定理，得x²=(8-x)²+4²．解之，得x=5，即EF=5．