Question

如图，抛物线y=ax²+bx﹣经过点A（1，0）和点B（5，0），与y轴交于点C．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）以点A为圆心，作与直线BC相切的⊙A，求⊙A的半径；

（3）在直线BC上方的抛物线上任取一点P，连接PB，PC，请问：△PBC的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值的此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

　

Answer 1

解答： 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx﹣经过点A（1，0）和点B（5，0），

∴把A、B两点坐标代入可得，解得，

∴抛物线解析式为y=﹣x²+2x﹣；

（2）过A作AD⊥BC于点D，如图1，

∵⊙A与BC相切，

∴AD为⊙A的半径，

由（1）可知C（0，﹣），且A（1，0），B（5，0），

∴OB=5，AB=OB﹣OA=4，OC=，

在Rt△OBC中，由勾股定理可得BC===，

∵∠ADB=∠BOC=90°，∠ABD=∠CBO，

∴△ABD∽△CBO，

∴=，即=，解得AD=，

即⊙A的半径为；

（3）∵C（0，﹣），

∴可设直线BC解析式为y=kx﹣，

把B点坐标代入可求得k=，

∴直线BC的解析式为y=x﹣，

过P作PQ∥y轴，交直线BC于点Q，交x轴于点E，如图2，

设P（x，﹣x²+2x﹣），则Q（x，x﹣），

∴PQ=（﹣x²+2x﹣）﹣（x﹣）=﹣x²+x=﹣（x﹣）²+，

∴S_△PBC=S_△PCQ+S_△PBQ=PQ•OE+PQ•BE=PQ（OE+BE）=PQ•OB=PQ=﹣（x﹣）²+，

∴当x=时，S_△PBC有最大值，此时P点坐标为（，），

∴当P点坐标为（，）时，△PBC的面积有最大值．