Question

【题目】阅读材料：

我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型”如图①，在中，，，分别过、向经过点直线作垂线，垂足分别为、，我们很容易发现结论：．

（1）探究问题：如果，其他条件不变，如图②，可得到结论；．请你说明理由．

（2）学以致用：如图③，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，且两直线夹角为，且，请你求出直线的解析式．

（3）拓展应用：如图④，在矩形中，，，点为边上—个动点，连接，将线段绕点顺时针旋转，点落在点处，当点在矩形外部时，连接，．若为直角三角形时，请你探究并直接写出的长．

Answer 1

【答案】（1）理由见解析；（2）；（3）长为3或．

【解析】

（1）根据同角的余角相等得到，然后利用AA定理判定三角形相似；

（2）过点作交直线于点，分别过、作轴，轴，由（1）得，从而得到，然后结合相似三角形的性质和锐角三角函数求出，，从而确定N点坐标，然后利用待定系数法求函数解析式；

（3）分两种情形讨论：①如图1中，当∠PDC=90°时．②如图2中，当∠DPC=90°时，作PF⊥BC于F，PH⊥CD于H，设BE=x．分别求解即可．

解：（1）∵，∴

又∵

∴

∴

∵．

∴

（2）如图，过点作交直线于点，

分别过、作轴，轴

由（1）得 ∴

∵坐标 ∴，

∵ ∴

解得：， ∴

设直线表达式为，代入，

得，解得，

∴直线表达式为

（3）解：①如图1中，当∠PDC=90°时，

∵∠ADC=90°，

∴∠ADC+∠PDC=180°，

∴A、D、P共线，

∵EA=EP，∠AEP=90°，

∴∠EAP=45°，∵∠BAD=90°，

∴∠BAE=45°，∵∠B=90°

∴∠BAE=∠BEA=45°，

∴BE=AB=3．

②如图2中，当∠DPC=90°时，作PF⊥BC于F，PH⊥CD于H，设BE=x，

∵∠AEB+∠PEF=90°，∠AEB+∠BAE=90°，

∴∠BAE=∠PEF，

在△ABE和△EFP中，

∴△ABE≌△EFP，

∴EF=AB=3，PF=HC=BE=x，

∴CF=3-（5-x）=x-2，

∵∠DPH+∠CPH=90°，∠CPH+∠PCH=90°，

∴∠DPH=∠PCH，∵∠DHP=∠PHC，

∴△PHD∽△CHP，

∴PH2=DHCH，

∴（x-2）2=x（3-x），

∴x=或（舍弃），

∴BE=，

综上所述，当△PDC是直角三角形时，BE的值为3或．