Question

已知关于x的方程x²-7x+k=0（*）．
（1）请你选择一个合适的整数k，使得到的方程有两个不相等的实数根，并说明它的正确性．
（2）如果方程（*）的两个实数根x₁，x₂的值恰好是一个菱形的两条对角线长且满足x12x22-x12-x22-2x1x2=95，求该菱形的面积．

Answer 1

（1）根据题意当△=49-4k≥0时，方程有两个不相等的实数根，
解得k≤

49

4

，
所以k取整数0时满足条件；

（2）根据题意得x₁+x₂=7，x₁x₂=k（k＞0）．
∵x12x22-x12-x22-2x1x2=（x₁x₂）²-（x₁+x₂）²，
∴k²-7²=95，
解得k₁=12，k₂=-12，
∵k≤

49

4

，且k＞0，
∴k=12，
∴菱形的面积=

1

2

x₁x₂=

1

2

×12=6．