Question

如图，在△ABC中，已知AB=BC=CA=4cm，AD⊥BC于D. 点P、Q分别从B、C两点同时发，其中点P沿BC向终点C运动，速度为1cm/s；点Q沿CA、AB向终点B运动，速度为2cm/s，设它们运动的时间为x(s).

（1）当x=__________时，PQ⊥AC， x=__________时，PQ⊥AB.

（2）设△PQD的面积为y(cm²)，当0<x<2时，求y与x的函数关系式为__________.

（3）当0<x<2时，求证：AD平分△PQD的面积；

（4）探索以PQ为直径的圆与AC的位置关系，请写出相应位置关系的x的取值范围（不要求写出过程）.

Answer 1

（1）

解：当Q在AB上时，显然PQ不垂直于AC. 当Q在AC上时，由题意得，BP=x，CQ=2x，PC=4-x，∵AB=BC=CA=4  ∴∠C=60°；若PQ⊥AC，则有∠QPC=30°，∴PC=2CQ，∴4-x=2×2x,  ∴，当（Q在AC上）时，PQ⊥AC，如图：①当PQ⊥AB时，BP=x，BQ=，AC+AQ=2x，∵AC=4，∴AQ=2x-4，∴  ∴，故时PQ⊥AB.

（2）

解：如图②，当0<x<2时，P在BD上，Q在AC上，过点Q作QH⊥BC于H，

∵∠C=60°，QC=2x，∴QH=QC×sin60°=x ，∵AB=AC，AD⊥BC，

∴∴DP=2-x，∴

（3）当0<x<2时，在Rt△QHC中，QC=2x，∠C=60°， ∴HC=x，∴BP=HC，∴BD=CD， ∴DP=DH

∵AD⊥BC，QH⊥BC   ∴AD∥QH， ∴OP=OQ ∴  ∴AD平分△PQD的面积

（4）显然，不存在x的值，使得以PQ为直径的圆与AC相离. 当时，以PQ为直径的圆与AC相切. 当时，以PQ为直径的圆与AC相交.