Question

如图，在中，∠C=90^。，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB边上且。

（1）判断直线AC与△DBE外接圆的位置关系，并说明理由；
（2）若AD=6，AE=6，求△DBE外接圆的半径及CE的长。

Answer 1

（1）答：直线AC与△DBE的外接圆相切 证明：∵ DE⊥BE ∴ BD是Rt△DBE外接圆的直径             ∴ 取BD的中点O，连接OE。              ∵ BE平分∠ABC， ∴∠CBE=∠OBE                  又 ∵ OB=OE， ∴∠OBE=∠BEO， ∴∠CBE=∠BEO， ∴BC∥OE               ∵∠C=90°， ∴OE⊥AC， ∴AC是△BDE的外接圆的切线。 （2）设⊙O的半径为r，则在Rt△AOE中，AD=6，AO=r+6，AE=6，              即       解得 r=3 , ∴ △BDE的外接圆的半径是3.              过点E作EF⊥AB于F， ∵ BE平分∠ABC，∠C=90° ∴ EF=EC ，               在Rt△AOE中， AO=6+3=9，，EF=               = =2  ∴ CE=EF=2                 ∴ 外接圆的半径为3，CE的长为2