Question

已知∠BAC=90°，AB=AC，M是AC边的中点，AD⊥BM交BC于D，交BM于E，
求证：∠AMB=∠DMC．

Answer 1

分析：先延长AD至F，使得CF⊥AC，得出∠ABM=∠DAC，再根据AB=AC，CF⊥AC，得出△ABM≌△CAF，从而证出∠BMA=∠F，AM=CF，再根据所给的条件得出△FCD≌△MCD，即可得出∠AMB=∠F=∠CMD．

解答：证明：如图，延长AD至F，使得CF⊥AC．
∵AB⊥AC，AD⊥BM，
∴∠ABM=∠DAC，
在△ABM与△CAF中，

∠ABM=∠DAC AB=CA ∠BAM=∠ACF

，
∴△ABM≌△CAF（ASA），
∴∠BMA=∠F，AM=CF，
在△FCD与△MCD中，

CM=CF ∠MCD=∠FCD CD=CD

，
∴△FCD≌△MCD（SAS），
∴∠F=∠CMD，
∴∠AMB=∠DMC．

点评：此题考查了解等腰直角三角形；解题的关键是根据题意画出图形，再根据解等腰直角三角形的性质和全等三角形的判断与性质进行解答即可．