题目内容
如图，在△ABC中，点P是AC边上的一个动点（异于A、C两点），过点P作PD∥AB交BC于点D，过点P作PE∥
BC交AB于点E．（1）求证：
| AE |
| BE |
| BD |
| DC |
（2）若△PAE、△PCD的面积分别为4、9，求
| AP |
| AC |
分析：（1）有平行线可得对应线段的比值相等：
=
和
=
，问题得证．
（2）若两三角形相似，则面积比等于相似比的平方，根据这一性质可先求的△PAE与△PCD相似，进而求得
的值．
| AE |
| BE |
| AP |
| PC |
| AP |
| PC |
| BD |
| DC |
（2）若两三角形相似，则面积比等于相似比的平方，根据这一性质可先求的△PAE与△PCD相似，进而求得
| AP |
| AC |
解答：（1）证明：∵PE∥BC，
∴
=
，
∵PD∥AB，
∴
=
，
∴
=
；
（2）解：∵PE∥BC，PD∥AB，
∴∠APE=∠C，∠A=∠DPC，
∴△AEP∽△PDC，
∴
=(
)2，
即
=(
)2，
∴
=
，
∴
=
．
∴
| AE |
| BE |
| AP |
| PC |
∵PD∥AB，
∴
| AP |
| PC |
| BD |
| DC |
∴
| AE |
| BE |
| BD |
| DC |
（2）解：∵PE∥BC，PD∥AB，
∴∠APE=∠C，∠A=∠DPC，
∴△AEP∽△PDC，
∴
| S△AEP |
| S△PDC |
| AP |
| PC |
即
| 4 |
| 9 |
| AP |
| PC |
∴
| AP |
| PC |
| 2 |
| 3 |
∴
| AP |
| AC |
| 2 |
| 5 |
点评：本题考查了相似三角形的判定和性质，常用的相似判定方法有：平行线，AA，SAS，SSS；常用到的性质：对应角相等；对应边的比值相等；面积比等于相似比的平方．
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