题目内容
【题目】如图①，在正方形ABCD中，点E与点F分别在线段AC、BC上，且四边形DEFG是正方形．
（1）试探究线段AE与CG的关系，并说明理由．
（2）如图②若将条件中的四边形ABCD与四边形DEFG由正方形改为矩形，AB=3，BC=4．
①线段AE、CG在（1）中的关系仍然成立吗？若成立，请证明，若不成立，请写出你认为正确的关系，并说明理由．
②当△CDE为等腰三角形时，求CG的长．
【答案】（1）AE=CG，AE⊥CG，理由见解析；（2）①位置关系保持不变，数量关系变为
；
理由见解析；②当△CDE为等腰三角形时，CG的长为
或
或
．
【解析】试题分析： 
证明
≌
即可得出结论.
①位置关系保持不变，数量关系变为
证明
根据相似的性质即可得出.
分成三种情况讨论即可.
试题解析：（1）
理由是：如图1，∵四边形EFGD是正方形，
∴
∵四边形ABCD是正方形，
∴
∴
∴
≌
∴
∵
∴
∴
即
（2）①位置关系保持不变，数量关系变为
理由是：如图2，连接EG、DF交于点O，连接OC，
∵四边形EFGD是矩形，
∴
Rt 
中，OG=OF，
Rt 
中， 
∴
∴D、E、F、C、G在以点O为圆心的圆上，
∵
∴DF为
的直径，
∵
∴EG也是
的直径，
∴∠ECG=90°，即
∴
∵
∴
∵
∴
∴
②由①知： 
∴设
分三种情况：
（i）当
时，如图3，过E作
于H，则EH∥AD，
∴
∴
由勾股定理得： 
∴
（ii）当
时，如图4，过D作
于H，
∵
∴
∴
∴
∴
∴
（iii）当
时，如图5，
∴
∴
综上所述，当
为等腰三角形时，CG的长为
或
或
．
【题目】某石化乙烯厂某车间生产甲、乙两种塑料的相关信息如下表，请你解答下列问题：
出厂价 | 成本价 | 排污处理费 | |
甲种塑料 | 2100（元/吨） | 800（元/吨） | 200（元/吨） |
乙种塑料 | 2400（元/吨） | 1100（元/吨） | 100（元/吨） 另每月还需支付设备管理、维护费20000元 |
（1）设该车间每月生产甲、乙两种塑料各x吨，利润分别为y1元和y2元，分别求出y1和y2与x的函数关系式(注：利润=总收入-总支出)；
（2）已知该车间每月生产甲、乙两种塑料均不超过400吨，若某月要生产甲、乙两种塑料共700吨，求该月生产甲、乙塑料各多少吨时，获得的总利润最大？最大利润是多少？